ホール効果測定：センシングと材料特性評価にむけて
前書き
エドウィンホールによる１８７９年のホール効果の発見以来、ホール効果は、測定、特に材料の特性評価とセンシングに広く適用されています。 現在、新しい材料の特性評価に使用され、量子ホール効果、スピンホール効果、最近ではトポロジカル絶縁体などの新しい現象の発見が可能になっています [1] 。ホール効果は、自動車産業の電流検出、計測、非破壊検査およびテスト、セキュリティスクリーニングアプリケーションなど、多くのデバイスアプリケーションのプラットフォームとしても機能します。
図1.に示すように、導体が磁場 B に置かれると、ホール効果が現れます。導体を流れる電荷キャリアは、ローレンツ力 FL により偏向され、磁場と電流 IR の双方に垂直な横方向にホール電圧 Vxy を生じます。
図1. 標準的なホールバージオメトリでのホール効果測定のセットアップを示す概略図。２つのロックインアンプを使用して、電流に沿って垂直に電圧 Vxx および Vxy を測定します。 電子の動きは反対方向になります。 ローレンツ力 FL は、磁場 B と電荷キャリアの動きに垂直です。
ホール電圧は磁場に直線的に比例しますが、縦電圧Vxx は磁場に依存しません。これらは、図2.（a） に示すように、金属導体と半導体の古典的なホール効果です。バルク導体の抵抗率ρは、ρ= R w t / l として定義されます。R= V / I は抵抗、w は幅、t は厚さ、lは導体の長さです。抵抗率ρxx およびρxy は、次の形式で古典的な Drude モデルから導出されます。
ここで、n は電荷キャリアの密度、m はキャリアの有効質量、e は電子電荷、τは平均自由散乱時間です [2] 式1a は、線形磁場と逆キャリア密度での横方向ホール抵抗率を表します。 一方、式 1b は、電界に依存せず、電流の方向における材料の輸送特性を反映する縦方向の抵抗率を表します。古典的なホール効果の主な用途は次の２つです。
1. 材料の特性評価
材料の導電特性はホール効果測定を使用して決定されます。ホール抵抗率から、キャリア濃度 n とキャリアタイプは、磁場依存性が線形であるため、式 1a を使用して決定されます。導電率σxx = 1/ρxx とキャリア移動度 μ=σxx / n e を決定するために、式 1b を使用して縦抵抗率測定が使用されます 。ホール形状（図1.に示す）は、電圧 Vxxと Vxy、および電流 IR を直接抽出するように設計されています。
2. センシング
材料の導電特性がわかっている場合、ホール電圧と垂直磁場成分への線形比例を使用して、高感度で正確な磁場センサーを構築できます。この場合、測定電圧は磁場に比例し、線形性はゼロから数テスラ（T）の領域に及ぶため、ホールセンサーは産業用アプリケーションでホールプローブ、速度計、ホールスイッチ、近接センサー、電流センサーとして広く使用されています。これらの多くのアプリケーションでは測定速度が重要ですが、一方信号は、別の大きな信号やさまざまな静的および時間変動フィールドノイズ源からのバックグラウンドノイズの上にあります。
AC 測定技術は、熱オフセット、熱ドリフト、バックグラウンドノイズスペクトル内の不要なコンポーネントなどといった、特定の系統的測定エラーを回避するのに役立つため、このような要件に特に適しています。主にバックグラウンドノイズが周波数 f の増加とともに1 / f に低下するため、DC 手法と比較して高SN比が達成されます。通常、SNR が高いと測定が高速になります。さらに、AC 手法には多くの場合、より高い測定分解能があり、より広いダイナミックレンジが可能になります。
正確で高速な測定のためのロックインアンプ
AC 測定は、バックグラウンドノイズが大きい場合でも、設定した帯域幅で数 nV まで確実に測定するため、ロックインアンプを使用するのが最適です。これらの機器は、位相敏感検出を使用して信号の振幅と参照信号に対する位相を測定します。基準周波数以外の周波数および測定帯域幅外のバックグラウンドノイズは大幅に除去され、測定に影響を与えません。
ホールバー形状と２つの Zurich Instruments MFLI、500 kHz ロックインアンプを使用した一般的なセットアップを図1.に示します。２つのロックインアンプを使用して、横方向ホール電圧 Vxy と縦方向電圧 Vxx を測定します。また、いわゆる電流制限抵抗RL を介してサンプルに電流を供給します。通常、この抵抗は、回路内で組み合わされた抵抗よりも大きくなるように選択されるため、電流は一定と見なすことができます。 定電流の仮定は多くの場合に当てはまりますが、測定中にサンプルのインピーダンスが劇的に変化する研究では、電流を注意深く監視する必要があります。電流測定入力により、MFLI はこの機能を備えています。電圧入力と同じ周波数ロックインアンプのより詳細な処理とその動作については、[3] を参照してください。
2DEGの量子ホール効果
２次元電子ガス（2DEG）の電子が磁場に置かれると、ホール効果は定性的に新しい特徴を示し、磁場の増加に伴ってホール抵抗率が段階的に変化し、プラトー構造が発生します。これは量子力学現象である量子ホール効果（QHE）として知られ、2DEG の状態密度でランダウ準位と呼ばれる離散的なエネルギ準位が形成されます。図2.（b）に示します。 プラトーにある間、電子は量子化されたエネルギレベルで離散円軌道をたどり、抵抗なしにサンプルのエッジに沿って巨視的な距離を移動します。エッジ状態。 さらに、ランダウ準位間を移動する電子は、シュブニコフ・ド・ハース（SdH）振動として知られる観測可能な「量子振動」を引き起こす可能性があります（図3.を参照）。 整数 QHE は、１９８０年にクラウス・フォン・クリツィングによって発見され [4]、１９８５年にノーベル賞を受賞しました。
図2. 磁場の関数としてプロットされた縦方向および横方向の抵抗率ρxx およびρxyの図。
（a）ρxyがBと同一直線上にあり、ρxx がBから独立している古典的なホール効果挙動。
（b）整数量子ホール効果の典型的な特徴。 ホール抵抗率ρxy は、ある範囲の磁場値のプラトーを示し、
ρxx は同時にゼロになります。
特定のプラトーのホール抵抗率は次の式で与えられます。
ここで、νは、フィリングファクタと呼ばれる整数であり、h / e2 は RK = 25812.807557（18）Ωまたは抵抗の量子に等しい von Klitzing 定数として知られる基本定数です。 ρ = Rw / l であるため、2DEG の抵抗率と抵抗は同じ 単位Ωをもちます。RK はプランク定数 h と電子電荷 e のみに依存し、材料特性、温度変動、または結晶不純物には依存しません｡2DEG の QHE に加えて、他のタイプのホール効果現象も発見されています。これらにはフラクショナルホール効果、スピンホール効果が含まれ、最近の研究では、トポロジカル絶縁体の薄膜がゼロ外部磁場で QHE を示す「量子異常ホール効果」も示されています [5]。
ホール効果のケーススタディ
ETH チューリッヒで２つの MFLI を使用して QHE を測定し、そこでは２つの DEG、 GaAs / Al0.3Ga0.7As サンプルが光物質結合の研究を目的として特性評価されました[6]。電子移動度μは3 × 106 cm2 / V sであり、 電子密度nは 3 × 1011cm-2 で、ホールバーの寸法は長さ 166.5μm、幅 39μm でした。図3.に示す測定例は 100 mK、周波数 14 Hz で実行されました。 ホールバーと直列に配置された 10MΩの電流制限抵抗に 200 mV の RMS 電圧を印加することにより、20 nA の電流が得られました。 信号は、ロックイン入力の前に 1000 倍のゲインを持つ自作プリアンプで増幅され、ロックイン測定は 100 ms の時定数を使用して行われました。
図3.（a）２つのロックイン増幅器を使用した、磁場 B の関数としての縦方向および横方向の抵抗率 pxx および pxy のプロット。磁場の方向が反転すると xy が符号を変えることに注意してください。
（b）（a）からの測定データを拡大。負の磁場でのいくつかの高次ホールプラトーと、それらの間のスピン分裂の顕著な特徴が示されています。
図3. (a) は、２つのロックイン増幅器を使用して得られた磁場 B の関数としての縦方向および横方向の抵抗率 ρxx および ρxy のプロットを示します。黒いトレースはρxx の SdH 振動を示し、ρxy の整数量子ホール効果プラトーは赤で表示されます。最初のプラトーは約 13 T で形成されます（図示せず）この測定では、最大 300 のフィリングファクタが観察されました。サンプルの低温と高移動度の結果としてのSdH振動の早期発生は、その高品質を反映しています。また、0.4 T以上で形成されるρxx の構造は、ランダウ準位のスピン分裂によるものです（図3.（b）を参照）。
QHE および関連する現象の実用化
量子ホール状態の抵抗は材料の種類、散乱、温度に依存しないため、2DEG 材料が抵抗標準として使用されます。 最近まで、QHE は低温でのみ観察されていました。 2007 年に、20 T の磁場でのグラフェンの測定により、室温での QHE [7] と、新しい抵抗標準を開発するための潜在的な基礎が明らかになりました。 磁場が存在しないトポロジカル絶縁体での QHE の発見は、新たな可能性の別のセットを開きました。
保護された状態で伝導するこれらの新しい材料は、高速電子工学と量子コンピュータに使用できる可能性があります [1] 。
ホール効果測定にMFLIを使用する利点
1. 高感度：最小の信号を抽出します
ホール効果測定には、多くの場合ノイズに埋もれた小信号の検出が含まれます。 ホール効果測定の一般的な抵抗は約 100 Ωかそれ以下です。 約 20 nA の電流と組み合わせると、Vxx の場合は数μV、Vxy の場合は数百μV の電圧に変換されます。プリアンプの使用は、ブロードバンドノイズの増幅とフィルタリングにより SNR を向上させるために確かに有益です。 両方の電圧測定では、完全な磁場掃引に対応するために MFLI 入力の高いダイナミックレンジが必要です。
2. 効果的なノイズ除去：SNR を最大化
効果的なノイズ除去は、高い SNR を達成するために重要です。 MFLI には、測定信号の最大 100 万倍のノイズを除去できる 8 次フィルターが装備されており、 測定速度と精度の両方を最適化します。さらに、低温で測定を実行すると、ロックイン入力から発生するノイズがサンプルの電子温度に影響し、ノイズ全体に追加されます。この点で、MFLIは、その入力の消費電力が最小であるため、市場で最高の商用ソリューションを提供します [8] 。 ロックインの効率的なノイズ除去により、フィルターの時定数を短縮でき、場合によっては１日または１週間の完全な特性測定時間を最大 10 分の 1 に短縮できるため、測定が効果的に高速化されます。
3. 高精度：専用の電流検出
定電流 IR の仮定が成り立たない場合、電流 IR を測定して高精度の抵抗測定を達成し、最大 10% の系統誤差を回避することが重要です。MFMD オプションを使用すると、1つのロックインアンプユニットを使用して、ホール電圧と同時に電流を測定できます。ユーザーは、セットアップの複雑さを軽減し、測定の忠実度を向上させることができます。
4. 効率的なワークフロー：LabOne ソフトウェアが含まれています
MFLI に付属の Zurich Instruments 制御ソフトウェア LabOne は、効率的なワークフロー向けに設計されています。直感的なユーザーインターフェースにより、ユーザーはすぐに最初の結果を得ることができます。また、豊富な機能とツールにより、取得したデータに対する高い信頼性が得られます。たとえば、Scope を使用して Signal Inputs にデータを直接記録し、Plotter（Spectrum Analyzer）を使用して時間（周波数）ドメインで復調器の出力を視覚化できます。測定に複数の機器の使用が必要な場合、マルチデバイス同期（MDS）機能が役立ちます。 MDS は、すべての機器の基準クロックを同期し、記録されたデータのタイムスタンプをそろえます。測定は、LabOne ユーザーインターフェースの単一セッション内で実行できます。測定を自動化する必要がある場合、または MFLI を既存の測定環境に統合する必要がある場合、LabOne は LabVIEW®、MATLAB®、Python、.NET および C 用の API を提供します。
結論
今日、ホール効果測定は、基礎研究、SI ユニットの再定義、および産業用途で広く使用されています。ほとんどの測定では、ロックインアンプが最適なノイズ除去により高精度と SNR を保証する主要なツールである AC テクニックを使用することで恩恵を受けます。
Zurich Instruments MFLI ロックインアンプは、高性能デジタル信号処理の利点と使いやすさを兼ね備えた最新のハードウェアおよびソフトウェアテクノロジに基づいて構築されています。定義された周波数でホール電圧を検出する簡単な測定から、複数の機器の使用を必要とするより複雑なセットアップまで、MFLI は使用に適したツールです。たとえば、周波数範囲を DC から 500 kHz に、DC から 5 MHz にアップグレードするか、別の３つの復調器を追加して、電圧と電流の入力を同時に分析することにより、変化する要件に適応できます。
ホール測定のご要求については、お気軽にお問合せください（電話：03-3356-1064）。
MFLI ロックインアンプの詳細については、こちらをご覧ください。
謝辞
ETH チューリッヒの Quantum Optoelectronics Group の Gian L. Paravicini-Bagliani 氏に、量子ホール効果データを共有して議論していただいたことに深く感謝します。
References
[1] Davide Castelvecchi. The strange topology that is reshaping physics. Nature, 547:272–274, 2017.
[2] N. W Ashcroft and N.D. Mermin. Solid state physics. 1976.
[3] Zurich Instruments AG. Principles of Lock-in Detection, 2017. White Paper.
[4] K. v. Klitzing, G. Dorda, and M. Pepper. New method for high-accuracy determination of the fine-structure constant based on quantized hall resistance. Phys. Rev. Lett., 45:494–497, Aug 1980.
[5] A. J Bestwick, E. J. Fox, X. Kou, L. Pan, K. L. Wang, and D. Goldhaber-Gordon. Precise quantization of the anomalous hall effect near zero magnetic field. Phys. Rev. Lett., 114:187201, May 2015.
[6] G. L. Paravicini-Bagliani, F. Appugliese, E. Richter, F. Valmorra, J. Keller, M. Beck, N. Bartolo, C. Rössler adn T. Ihn, K. Ensslin, C. Ciuti, G. Scalari, and J. Faist. Magneto-transport controlled by landau polariton states. arXiv:1805.00846, 2018.
[7] K. S. Novoselov, Z. Jiang, Y. Zhang, S. V. Morozov, H. L. Stormer, U. Zeitler, J. C. Maan, G. S. Boebinger, P. Kim, and A. K. Geim. Roomtemperature quantum hall effect in graphene. Science, 315(5817):1379–1379, 2007.
[8] Zurich Instruments AG. Power Dissipation at Input Connectors of Lock-in Amplifiers, 2017. Technical Note.