ロックインフィルタの周波数領域応答
はじめに
ロックインアンプの応答は、ローパスフィルター（LPF）のパラメーター、つまり時定数とフィルター次数によって特徴付けられます。
LPF の時間応答は測定のレイテンシを示し、スペクトル応答は測定信号のノイズ特性を示します。
ブログ記事「ロックインフィルターの時間領域応答 [1] 」では、LabOne ユーザーインターフェースのDAQ モジュール（旧 SW トリガ）を使用して、復調フィルターの時間応答を測定する方法を確認できます。
現在のブログでは、LabOne の Sweeper モジュールを使用して、これらのフィルターの周波数応答 [2] を取得する方法を学習します。
また、フィルター次数と時定数の観点から２種類のフィルター帯域幅の分析式も示します。
理論的背景
ロックイン増幅器の n 次復調器フィルターは、カスケード接続された n 個の１次ローパスフィルターで構成されます。
したがって、フィルターの周波数応答は、１次フィルター応答の n 倍の乗算によって取得されます。
時定数 τの場合、n 次フィルターの周波数応答は次の式で与えられます。
次の図は、τ= 69.23µs および最大８次のローパスフィルターの周波数応答を線形スケールで示しています。
図1. 固定の時定数を有するローパスフィルターの、１次から８次までのフィルター次数に対するリニアスケールでの周波数応答
そのようなフィルターの場合、帯域幅の二種類、すなわち 3-dB のカットオフ帯域幅および雑音等価パワー（NEP）の帯域幅を定義することが可能です。
それらは、時定数 τとフィルター次数 n で表すことができます。
3 dB カットオフ帯域幅 ω 3dB は、以下の式に従って、フィルターの振幅が最大値より3 dB 小さくなる周波数として定義されます。
上記の式を使用して、n 次フィルターの Hz 単位の3 dB カットオフ帯域幅は、ω3dB = 2π f 3dB の関係を考慮して次のように得られます。
一方、NEP 帯域幅 ωNEP は、同じパワーを持つ対応する矩形フィルターの帯域幅として定義されます。
したがって、正規化された H (ω) の NEP 帯域幅は次のように取得されます。
NEP 帯域幅は、単純な関係 ωNEP = 2 π f NEP を使用して、rad / s ではなく Hz で表すことができます。
上記の式は、n 次フィルターの NEP 帯域幅に対して次の再帰関係になります。
上記の再帰的な関係は、次のように n 次フィルタの NEP 帯域幅の明示的な式を取得するために解決できます。
次の表は、Zurich Instruments 製のロックインアンプでの復調に使用される時定数逆 1 /τで表される最大８次のローパスフィルタの 3 dB および NEP 帯域幅を示しています。
上の表を使用すると、秒 (s) の単位をもつのフィルター時定数τに基づいて、Hz 単位の n 次 LPF の 3 dB および NEP 帯域幅を簡単に計算できます。
また、NEP 帯域幅が 3 dB 帯域幅よりも大きく、フィルター次数が増加すると、２つの帯域幅が結合することも明らかです。
実験測定
このセクションでは、LabOne ユーザーインターフェースのスイーパーモジュールを使用して、ロックインアンプのローパスフィルターの周波数応答を測定する方法を学習します。
この技術の背後にある考え方は、固定周波数を信号入力に適用し、駆動周波数の近くで復調器の周波数を掃引することです。
スイーパーモジュールはすべての機器で使用できるため、この測定は Zurich Instruments 製のロックインアンプで実行できます。
この測定では、MF-MD マルチ復調オプションを備えた 5 MHz MFLI ロックイン増幅器を使用して、ロックインフィルターの周波数応答を取得します。
図2は、機器とスイーパモジュールの適切な設定を示しています。
1 MHz の信号は、信号出力で発振器 2 から生成され、信号入力にループバックされます。
発振器 1 の周波数は、スイーパツールによって 1 MHz 付近で掃引され、入力信号の振幅が測定されます。
フィルターの時定数はτ= 69.23µs に固定され、各測定は1～８のフィルター次数に対して実行されます。
図2. 機器とスイーパの適切な設定、および1〜8のフィルター次数に対する8つの測定されたフィルター応答
図2は、同じ時定数で８つの異なるフィルタ次数を持つ８つのフィルタの測定された周波数応答を示しています。 図2 の測定値は、図1 の理論結果に似ています。
それを確認するために、測定された応答と分析曲線の両方を対数目盛でプロットできます。
図3 は、測定によって得られ、理論と実験の間の完全な一致を示す分析式から計算されたフィルタ応答を示しています。
図3. 理論と測定により得られた８次の復調フィルターの周波数応答。 次数が１から８に増加すると、
図3 から明らかなように、与えられた時定数τに対して、３次帯域幅、したがってNEP 帯域幅は、フィルター次数を増やすことで減少します。
さらに、フィルター次数が増加するにつれて、フィルター応答はよりシャープになります。
これらの特性は、適切な測定構成をセットアップする際に留意する必要があります。
ロックイン測定の詳細については、ロックイン検出の原理に関する Zurich Instruments のホワイトペーパーを参照してください [3]。
結論
このブログでは、3 dB およびNEP帯域幅の２つの分析式が、フィルター次数と時定数の観点から示されています。 さらに、フィルター応答を測定する手法が提案されています。
この方法では、LabOne のスイーパモジュールを使用して、ロックインアンプに配置されたローパスフィルターの周波数応答を取得します
参照資料
- M. Alem, “Time-Domain Response of Lock-in Filters.”
- Wikipedia: “Frequency response.”
- Zurich Instruments: “Principles of lock-in detection and the state of the art.”